C0 10-(1/2)*C1 10+(1/3)*C2 10-(1/4)*C3 10+.+(1/11)*C10 10的值为____

题目

C0 10-(1/2)*C1 10+(1/3)*C2 10-(1/4)*C3 10+.+(1/11)*C10 10的值为____

答案

法一
抽取每一项
(-1)^k (1/k+1) c(10,k)=(-1)^k[10!/(k+1)!(10-k)!]= (-1/11)* {(-1)^(k+1) [11!/(k+1)!(10-k)!]}
=(-1/11)[(-1)^(k+1) *C(11,k+1)]
所以原式=(-1/11)[-C(11,1)+C(11,2)+...-C(11,11)]
=(-1/11) {[1+(-1)]^11-1}
=1/11
就是把每一项,比如(1/3)C(10,2)=10!/[3!8!]=(1/11)[11!/(3!8!)]=(1/11)C(11,3)
然后把这个算式,变成了(1-1)^11的二项展开式相关的算式.
如果学过微积分的话,这个
法二
如果学过微积分,这题还有个简单的办法.
原式=∫(0到1) [(1-x)^10] dx (令t=1-x)
=∫((0到1) [t^10] dt
=1/11