若a,b,c∈R+,且ab+bc+ca=1,求证a+b+c≤1/3abc

题目

若a,b,c∈R+,且ab+bc+ca=1,求证a+b+c≤1/3abc
不等式左边为一次,右边为-3次,可利用ab+bc+ca=1进行调整,则可为
a+b+c≤(ab+bc+ca)^2/3abc,但是然后呢,我化不掉
兄弟，不要浪费时间哦，
a+b+c=1怎么来的？

答案

a+b+c≤(ab+bc+ca)^2/3abc
展开：a^2bc+ab^2c+abc^2小于等于a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
a^2b(b-c)+c^2a(a-b)大于等于b^2c(c-a)
因为这是轮换对称式,我们不妨设a大于等于b大于等于c大于0
将原式左边依靠那个式子缩小,右边扩大
2c^3(b-c)大于等于c^3(b-c)
在这种情况下,相等,那么如果不缩小和扩大,那就一等是大于等于