如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=35，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，AD=23，点M、N分别是BC、AD的中点，求MN的长．

题目

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=3

5

，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，AD=2

3

，点M、N分别是BC、AD的中点，求MN的长．

答案

连AM，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴A，D，B，C四点共圆，M为圆心，BC为直径，
又∵NAD的中点，
∴MN⊥平分AD，AN=

1

2

2AD=

3

，
∵∠ABC=30°，AB=3

5

，
∴BC=2

15

，即AM=

1

2

BC=

15

，
∴MN²=AM²-AN²=15-3=12，
∴MN=2

3

．

连AM，因∠BAC=90°，∠BDC=90°，故A，D，B，C四点共圆，M为圆心，BC为直径，又因NAD的中点，故MN⊥平分AD，AN=

1

2

2AD=

3

，又因∠ABC=30度，AB=3

5

，故BC=2

15

，即AM=

1

2

BC=

15

，所以利用勾股定理可得MN²=AM²-AN²=15-3=12，即MN=2

3

，问题得解．

本题考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

考点点评：本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边上中线的性质以及圆周角定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．