f(xy)=f(x)+f(y),证明f(1/x)=-f(x)

题目

f(xy)=f(x)+f(y),证明f(1/x)=-f(x)

答案

证明:
取x=1,y=1,则f(xy)=f(x)+f(y)即f(1)=f(1)+f(1),也即f(1)=0.
再取y=1/x,则f(xy)=f(x)+f(y),
左边为f(x·1/x)=f(1)=0
右边为f(x)+f(1/x)
于是f(x)+f(1/x)=0
也就是f(1/x)=-f(x),命题成立.