若函数f(x)=(x-4)^1/3 / ax^2+4ax+3的定义域为R,则实数a的取值范围.

题目

若函数f(x)=(x-4)^1/3 / ax^2+4ax+3的定义域为R,则实数a的取值范围.
我做出来是(0,3/4)但答案不是这个

答案

当a>0时,ax^2+4ax+3>0,即x^2+4x+3/a>0,因为开口向上,则使最小值大于0即可.解得：0当a=0时,f(x)的定义域恒为R；
当a<0时,即x^2+4x+3/a<0,因为开口向下,则使最小值小于0即可解得：a>4/3,但a<0,故舍去.
综合以上,a为[0,3/4)