已知O为三角形ABC三边垂直平分线的交点,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,若向量AO=m*向量AB+n*向量AC,求m+n的值

题目

已知O为三角形ABC三边垂直平分线的交点,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,若向量AO=m*向量AB+n*向量AC,求m+n的值

答案

O为三角形ABC三边垂直平分线的交点,
则O为三角形的外接圆的圆心.
由余弦定理：BC=(AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos120°)^(1/2)
= (4+1+2) ^(1/2)=7^(1/2)
AO为外接圆的半径,设AO =R,
根据正弦定理得：BC/sinA=2R, R=(BC/2)/sin120°=(7/3)^(1/2)
过O作AC的垂线与AC交于D,再过O作AB的平行线与AC的延长线交于E,
则 DO=(AO^2-(AC/2)^2)^(1/2)=(7/3-1/4)^(1/2)=(25/12)^(1/2)
∵∠DEO=60°
∴DO/EO=cos30°
∴EO=DO/cos30°=(25/12)^(1/2)*(2/3^(1/2))=5/3
∴DE=EO/2=5/6
∴AE=DE+AC/2=5/6+1/2=4/3
过O作AC的平行线与AB交于F,则四边形FAEO是平行四边形,
向量AO=向量AF+向量AE=m*向量AB+n*向量AC
∴|向量AF|=m*|向量AB|,|向量AE|=n*|向量AC|
∵|向量AF|=EO=5/3,|向量AB|=2,|向量AE|=4/3,|向量AC|=1
∴5/3=2m,4/3=n
∴m + n = 5/6 + 4/3 = 13/6.