2004k+a和2004(k+1)+a同时满足完全平方数的数有几组,其中k.a为正整数

题目

2004k+a和2004(k+1)+a同时满足完全平方数的数有几组,其中k.a为正整数

答案

设2004k+a和2004(k+1)+a分别为n^2、m^2,则有：
[2004(k+1)+a]-[2004k+a]=m^2-n^2
即：2004=(m+n)（m-n）
因为2004=2*2*3*167,又因为(m+n) 、（m-n）同偶
所以只能是 m+n=334,m-n=6 ；或者m+n=1002,m-n=2
1）如果m+n=334,m-n=6 那么可以解得：m=170,n=164
所以：2004k+a=164^2=26896
因为：26896÷2004=13..844（13余844）
如果要求k>a,那么k=13,a=844
如果不要求,那么k=1,2,.13；a=26896-2004k,共计13组
2）如果m+n=1002,m-n=2 那么可以解得：m=502,n=500
所以：2004k+a=500^2=250000
因为：250000÷2004=124..1504（124余1504）
如果要求k>a,那么k=124,a=1504
如果不要求,那么k=1,2,.124；a=250000-2004k,共计124组
综合来说：
如果要求k>a,那么共有两组k=13,a=844；k=124,a=1504
如果不要求,那么共有13+124=137组