设A是n阶方阵,证明|A|=0存在n阶方阵B≠0使得AB=0

题目

设A是n阶方阵,证明|A|=0<=>存在n阶方阵B≠0使得AB=0

答案

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如果|A|=0, 则0 为其特征根,于是存在列向量x1,使得 Ax1 = 0
设列向量x2=...=xn=0, 设 B=（x1,x2,...,xn), 则 B≠0, 且AB=A（x1,x2,...,xn)=（Ax1, Ax2,...,Axn)=0
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存在n阶方阵B≠0使得AB=0
设 B=（x1,...,xn), 则 Axi=0, i=1,2,...,n. 因为 B≠0,必存在i, 1<=i<=n, 使得 xi≠0. 于是 xi 是特征根为0的特征向量.即 0 是A的特征根,所以|A|=0