在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AM为∠BAC的平分线，若点M到AC的距离为2，则△AMC的面积为_．

题目

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AM为∠BAC的平分线，若点M到AC的距离为2，则△AMC的面积为______．

答案

过点M作MD⊥AB于D，过点M作ME⊥AC于E，
根据题意得：ME=2，
∵AM为∠BAC的平分线，
∴MD=ME=2，
∵∠BAC=90°，∠ADM=∠AEM=90°，
∴四边形ADME是矩形，DM∥AC，
∵MD=ME，
∴四边形ADME是正方形，
∴AD=DM=2，
∵AB=3，
∴BD=1，
∵DM∥AC，
∴△BDM∽△BAC，
∴

S△BDM

S△BAC

＝  (

BD

BA

)2=

1

9

，
∵S_△BDM=

1

2

×2×1=1，S_△ABM=

1

2

AB•DM=

1

2

×3×2=3，
∴S_△ABC=9，
∴S_△AMC=S_△ABC-S_△ABM=9-3=6．
故答案为：6．