已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x),对一切x∈R成立,求证:f(x)为偶函数.
题目
已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x),对一切x∈R成立,求证:f(x)为偶函数.
答案
∵函数f(x)的周期为4
∴f(4+x)=f(x)而f(2+x)=f(2-x),对一切x∈R成立
则将x+2代入上式x中得f(4+x)=f(-x)=f(x)
∴f(x)为偶函数
先根据周期函数的定义得到f(4+x)=f(x),再根据“等式f(2+x)=f(2-x),对一切x∈R成立”得到f(4+x)=f(-x),从而很容易得到函数f(x)的奇偶性.
函数的周期性;函数奇偶性的判断.
本题主要考查了函数的周期性,以及函数奇偶性的判断,属于基础题.
举一反三
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