∫dx/(2sin(x/2)cos(x/2))=?

题目

∫dx/(2sin(x/2)cos(x/2))=?
rt .

答案

原式=∫dx/sinx
=∫sinxdx/sin^2(x)
=-∫d(cosx)/(1-cos^2(x))
=-∫d(cosx)/[(1+cosx)(1-cosx)]
=-1/2∫(1/(1+cosx)+1/(1-cosx))d(cosx)
=-1/2∫d(1+cosx)/(1+cosx)+1/2∫d(1-cosx)/(1-cosx)
=-1/2ln|1+cosx|+1/2ln|1-cosx|+C
=1/2ln((1-cosx)/(1+cosx))+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C （把1/2弄到ln里,根号里上下同时乘1-cosx）
=ln|cscx-cotx|+C