已知复数Z满足条件│Z+2│=│Z-4i│则│Z│的最小值为

题目

已知复数Z满足条件│Z+2│=│Z-4i│则│Z│的最小值为

答案

│Z+2│=│Z-4i│在复平面内表示的是以复数 -2、4 i 为端点的线段的垂直平分线.
设 A点对应复数 -2、B点对应复数 4 i,
则 A（-2,0） B（0,4）
线段AB的中点M（-1,2）
A、B两点所在直线的斜率为 （4-0）/（0+2）=2
由于互相垂直的两条直线,其斜率互为负倒数,
故线段AB的垂直平分线的斜率为 -1/2,
线段AB的垂直平分线的方程为：y - 2 = (-1/2)(x +1)
即：x + 2y -3 =0
l z l 的最小值,等于原点到该直线的距离 l - 3 l/ √ 5=3√5/5