已知数列an的通项公式为an=n的三次方,其前n项和为Sn,问是否存在常数abc,使等式Sn=an四次方+bn三次方+cn平方对任意n∈N+都成立?

题目

已知数列an的通项公式为an=n的三次方,其前n项和为Sn,问是否存在常数abc,使等式Sn=an四次方+bn三次方+cn平方对任意n∈N+都成立?

答案

这个是一个数学归纳法的问题.
先求出a,b,c看是否对所有的N都成立.
a1=s1=1 1=a+b+c
a2=8, s2=1+8=9, 9=a*16+8b+4c
a3=27, s3=1+8+27=36 36=a*81+27b+9c
那么a=1/4 b=1/2 c=1/4.
那么就用数学归纳法来证明对任意的N是否都满足：
Sn=1/4 *n^4+ 1/2 *n^3 +1/4 * n^2
=1/4 *n^2(n+1)^2
那么设N 满足条件
对于an+1是否也满足
就是：an+1=(n+1)^3 =Sn+1-Sn是否成立
Sn+1-Sn=1/4 *(n+1)^2(n+1+1)^2 -1/4*n^2(n+1)^2
=1/4(n+1)^2*[(n+1+1)^2-(n+1-1)^2]
=1/4(n+1)^2*4(n+1)
=(n+1)^3
所以能找到,a=1/4 ,b=1/2 c=1/4