设n阶矩阵A的特征值为x1,x2,……xn.证明其和为a11+a22+……+ann

题目

设n阶矩阵A的特征值为x1,x2,……xn.证明其和为a11+a22+……+ann

答案

A的特征多项式 f(λ) = |λE-A|
由行列式的定义可知它是一个关于λ的n次多项式,其λ^(n-1) 的系数为(-1)^(n-1)(a11+a22+……+ann)
另一方面 ,设A的n个特征值为λ1...λn,则
f(λ)= (λ-λ1)...(λ-λn),展开得λ^(n-1) 的系数为（-1)^(n-1)(λ1+...+λn)
比较 λ^(n-1) 的系数及常数项 即得结论.