求函数的单调区间和值域

题目

求函数的单调区间和值域
求函数的单调区间和值域
1、y=(根号2/2)^|x-3|

答案

这是一个典型的指数函数与绝对值函数组成的复合函数.
f(y) = (Sqrt(2) / 2) ^ y,g(x) = |x - 3|,题目求f(g(x))的单调区间和值域.
复合函数f(g(x))的单调区间遵循如下规则：
f(y)增,g(x)增 -----> f(g(x))增
f(y)增,g(x)减 -----> f(g(x))减
f(y)减,g(x)增 -----> f(g(x))减
f(y)减,g(x)减 -----> f(g(x))增
在这道题中,底数小于1的指数函数f(y)在R上单调递减,绝对值函数g(x)在(-Infinity,3)上单调递减,[3,+Infinity)上单调递增.
所以整个复合函数在(-Infinity,3)上单调递增,在[3,+Infinity)上单调递减.
求值域的过程也分两步进行：f(y)的定义域就是y = g(x)的值域.显然绝对值函数g(x)的值域是[0,+Infinity).因此复合函数f(y)的定义域也是[0,+Infinity).对于单调递减的f(y),有最大值f(0) = 1和极小值lim(x -> Infinity) f(x) = 0.
所以复合函数f(g(x))的值域是(0,1].
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注：Infinity 是无穷的意思.+Infinity是正无穷,-Infinity是负无穷.