11.(26分) 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点A（3,0）．B（2,-3）,且以x=1为对称轴．

题目

11.(26分) 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点A（3,0）．B（2,-3）,且以x=1为对称轴．
（1） 求此函数的解析式；
（2） 作出二次函数的大致图像；
（3） 在对称轴x=1上是否存在一点P,使△PAB中PA=PB?若存在；求出P点的坐标；若不存在,说明理由．

答案

以x=1为对称轴
y=a(x-1)^2+k
把AB代入
0=4a+k
-3=a+k
a=1,k=-4
y=(x-1)^2-4
所以y=x^2-2x-3
y=0,x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,x=3,x=-1
x=0,y=-3
所以和x轴交点(3,0),(-1,0),和y轴交点(0,-3)
x=1为对称轴,顶点(1,-4)
描一下就行
PA=PB
所以P在AB的垂直平分线上
显然AB的垂直平分线和x=1有交点
所以P存在
AB斜率=(0+3)/(3-2)=3
所以AB的垂直平分线斜率是-1/3
AB中点(5/2,-3/2)
所以AB的垂直平分线是y+3/2=-1/3*(x-5/2)
x=1,y+3/2=1/2,y=-1
所以P(1,-1)