计算 ∫ ∫ x^2 dxdy 其中D区域为1≤(x^2+y^2)≤4 D

题目

计算 ∫ ∫ x^2 dxdy 其中D区域为1≤(x^2+y^2)≤4 D

答案

区间关于y=x对称
∫ ∫ (D)x^2 dxdy =∫ ∫ (D)y^2 dxdy
∫ ∫ (D)x^2 dxdy=(1/2)∫ ∫ (D)(x^2+y^2) dxdy
=(1/2)∫(0~2π)∫(1~2)r^3dr
=π(1/4)r^4|(1,2)
=15π/4