是不是只有可逆矩阵才可以表示成多个初等矩阵相乘?

题目

是不是只有可逆矩阵才可以表示成多个初等矩阵相乘?

答案

对方阵而言是对的.
若A可表示为初等矩阵的乘积
因为初等矩阵可逆
故A可逆.
反之,若A可逆
则A等价于单位矩阵E
即 P1...PsAQ1...Qt = E
所以 A = Ps^-1...P1^-1Qt^-1...Q1^-1
而初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵
故A是初等矩阵的乘积