一学校同学正好能排成8列的长方形方阵.要是再多120人,则能排成一正方形方阵.要是再少120人,也能排成正方形方阵.问原来有多少人?急

题目

一学校同学正好能排成8列的长方形方阵.要是再多120人,则能排成一正方形方阵.要是再少120人,也能排成正方形方阵.问原来有多少人?急

答案

原8K人
8K+120是个完全平方数A²,A偶
8K-120是个完全平方数B²,B偶
8K - 120 > 0 推得K > 15,8K+120>240,A>15
则有
A² - B² = (A+B)(A-B) = 240
因A+B、A-B同奇偶,在此必同偶,且因A、B为偶
则令A=2a,B=2b得
A² - B² = (A+B)(A-B) = (2a+2b)(2a-2b) = 240
(a+b)(a-b) = 60
则由60=2^2×3×5得：
①
a+b = 2×3×5
a-b = 2
解得
a = 16
b = 14
A = 32
B = 28
8K = A² - 120 = 32*32-120 = 904
②
a+b = 2×5
a-b = 2×3
解得
a = 8
b = 4
A = 16
B = 8
8K = A² - 120 = 16*16-120 = 136
综上,原人数可为904人、或136人.