已知直角三角形两直角边为a和b斜边长为c,若abc均为整数且c=1/3×ab-(a+b),求满足条件的直角三角形的个数.

题目

已知直角三角形两直角边为a和b斜边长为c,若abc均为整数且c=1/3×ab-(a+b),求满足条件的直角三角形的个数.

答案

3(a+b+c)=ab
3(a+b+c)=2S
内切圆半径R=2S/(a+b+c)=3,
又R=1/2(a+b-c)
∴a+b=6+c,
在勾股数中,最小一组：3、4、5,3+4-5=2,各乘以3得一组勾股数：9、12、15；
其它勾股数都不满足：a+b=c+6,
所以直角三角形的个数为1.