设f(x)二阶可导,且在〔0,a〕内某点取到最大值,对一切x∈[0,a]都有|f'(x)|≤m

题目

设f(x)二阶可导,且在〔0,a〕内某点取到最大值,对一切x∈[0,a]都有|f''(x)|≤m
m是常数,证明:|f'(0)|+|f'(a)|≤am.

答案

设在c点取得最大值 c在区间内部所以f`(c)=0
对f`(x)用中值定理
f`(c)-f`(0)=f``(ξ1)c==>|f`(0)|<=Mc
f`(a)-f`(c)=f``(ξ2)(a-c)==>|f`(a)|<=M(a-c)
相加即可