设f(x)在[0,2]连续,且在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,f(1)=2.证明存在一点c在(0,2),使得f‘（c）=1

题目

设f(x)在[0,2]连续,且在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,f(1)=2.证明存在一点c在(0,2),使得f‘（c）=1

答案

考虑g(x) = f(x)-x,有g(x)在[0,2]连续,在(0,2)可导,g(0) = 0,g(1) = 1,g(2) = -2.
由介值定理,存在a∈(1,2),使g(a) = 0.
于是由罗尔定理,存在c∈(0,a),使g'(c) = 0,即有f'(c) = 1 (∵g'(x)=f'(x)-1).