四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形 BA垂直于AD,CD垂直于AD,AB=2,CD=2根号2,三角形PAD是边长

题目

四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形 BA垂直于AD,CD垂直于AD,AB=2,CD=2根号2,三角形PAD是边长
为2的正三角形,平面PAD垂直于平面ABCD
1 求PC与平面ABCD所成角
2 求四棱锥P-ABCD的体积

答案

用空间向量平面PAD垂直于平面ABCD
所以取AD的中点为O,连接PO,则PO⊥AD；从而PO⊥平面ABCD；
以OA,OP为x,z轴建立空间直角坐标系,则：A(1,0,0);B(1,2,0),C(-1,2√2.0)
D(-1,0,0),P(0,0,√3)
(1)向量PC=（-1,2√2,-√3),平面ABCD的法向量为OP=(0,0,√3)
那么：cos＜PC,OP＞=PC·OP/|PC||OP|=-3/(2√3×√3)=-1/2
所以直线PC与平面ABCD的夹角为60º；
（2）V=⅓Sh＝⅓×½（2＋2√2）×2×√3＝2（√3＋√6）／3