若定义在[0,1]上的函数f(x)同时满足:①f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为“梦函数”.(1)

若定义在[0,1]上的函数f(x)同时满足:①f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为“梦函数”.(1)

题目
若定义在[0,1]上的函数f(x)同时满足:①f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为“梦函数”.(1)试验证f(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“梦函数”;(2)若函数f(x)为“梦函数”,求f(x)的最值.解:(1)∵x∈[0,1],则2x-1∈[0,1],且f(1)=21-1=1,∴满足①f(x)≥0,②f(1)=1,∵x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,∴f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1)≥0,∴满足③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.故函数f(x)=2x-1在区间[0,1]上是“梦函数”;(2)根据题意中“梦函数”应该满足的条件,则有任意的x1,x2∈[0,1],且x1<x2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)≤f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=-f(x2)≤0,∴f(x1)≤f(x2),∴f(x)在[0,1]上单调递增,令x1=x2=0,∵x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,∴f(0)≥2f(0),又f(x)≥0,∴f(0)=0,∴当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,当x=1时,f(x)取最大值f(1)=1.你们觉得解答的第8行有问题吗?如果总体来看的话f(x1)-f(x2)≤-f(x2) 那么f(x1)≤0
答案
(1)f(x)=2^x-1在区间[0,1]单调递增,当x=0时f(0)=2^0-1=1-1=0当x=1时f(1)=2^1-1=2-1=1所以满足条件1,条件2x1>=0,x2>=0且x1+x2<=1f(x1+x2)-[f(x1)-f(x2)]=2^(x1+x2)-1-[(2^x1-1)-(2^x2-1)]=2^x1*2^x2-2^x1-2^x2+1=(2^x1-1)(2^x2-1)>=0所以满足条件3.故函数f(x)=2^x-1在区间[0,1]上是“梦函数”(2)f(x)=2^x-1在区间[0,1]单调递增所以:最小值f(0)=2^0-1=1-1=0最大值f(1)=2^1-1=2-1=1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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