若a>b>c,求a^2+16/b(a-b)的最小值

题目

若a>b>c,求a^2+16/b(a-b)的最小值

答案

条件是a>b>0吧
∵a>b>0
∴a-b>0
∴b(a-b)≤[(b+a-b)/2]²=a²/4
当且仅当b=a-b,即a=2b时等号成立
则1/b(a-b)≥4/a²
16/b(a-b)≥64/a²
那么a²+16/b(a-b)
≥a²+64/a²
≥2√(a²×64/a²)
=2√64
=16
当且仅当a²=64/a²,即a=2√2时等号成立
∴当a=2√2,b=√2时
a²+16/b(a-b)有最小值16