求函数y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)的值域,

题目

求函数y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)的值域,
最好用数形结合法

答案

这道题用数形结合并不觉得有多好,用万能代换更简单.
先用万能代换解,稍后再用数形结合的方法解（因为需要画图,不是那么方便）
如果不对θ加以限制,那么,可设θ∈[0, 2π),
设t=tan (θ/2),则t∈R, 
sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
于是y=[4t/(1+t^2)-1]/[1+(1-t^2)/(1+t^2)]
     =[4t-(1+t^2)]/[(1-t^2)+(1+t^2)]
     =(4t-1-t^2)/2
     =-(t-2)^2/2+3/2,
当t=2时,y有最大值3/2,故值域为(-∞, 3/2]. 
数形结合的方法：
y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)=2*(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1)),
只需要求出(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1))的值域即可,而这个值是点P(cosθ, sinθ)、A(-1, 1/2)连线的斜率.
点P在单位圆上,如图所示.
从图可以看出,PA的最小倾角为-π/2,斜率为-∞；最大倾角为∠B1AB2-π/2,容易算出,tan(∠B1AB2-π/2)=cot(2*arctan(1/2))=3/4,此时y=2*3/4=3/2.
故y的值域为(-∞, 3/2].