已知关于x的函数y=cos2x-4asinx-3a(a∈R)的最大值M(a) (1)求M(a); (2)求M(a)的最小值.
题目
已知关于x的函数y=cos2x-4asinx-3a(a∈R)的最大值M(a)
(1)求M(a);
(2)求M(a)的最小值.
答案
(1)函数y=cos2x-4asinx-3a=1-2sin
2x-4asinx-3a=-2 (sinx+a)
2+2a
2-3a+1.
令sinx=t∈[-1,1],则 函数y=-2(t+a)
2+2a
2-3a+1.
当-a<-1 时,即 a>1 时,则t=-1时,M(a)=-2(-1+a)
2+2a
2-3a+1=a-1.
当-1≤-a≤1 时,即 1≥a≥-1时,则t=-a时,M(a)=2a
2-3a+1.
当-a>1 时,即 a<-1时,则t=1时,M(a)=-2(1+a)
2+2a
2-3a+1=-7a-1.
综上,
M(a)= | a−1 , a>1 | 2a2−3a +1 ,−1 ≤a≤1 | −7a−1 , a<−1 |
| |
.
(2)当a>1时,M(a)=a-1,最小值大于0.
当-1≤a≤1时,M(a)=2a
2-3a+1,最小值为-
.
当a<-1时,M(a)=-7a-1>6.
综上可得 M(a)的最小值为
−.
(1)利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为-2 (sinx+a)
2+2a
2-3a+1,令sinx=t∈[-1,1],则 函数y=-2(t+a)
2+2a
2-3a+1.利用二次函数的性质,求出函数在闭区间[-1,1]的最大值.
(2)当a>1时,M(a)=a-1,最小值大于0. 当-1≤a≤1时,M(a)=2a
2-3a+1,最小值为-
.当a<-1时,M(a)=-7a-1>6.综合可得M(a)的最小值.
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本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,二次函数的性质,复合函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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