证明方程 dy/dx=(1+x^2+y^2) sin(x) 的每一个解的存在区间都是(-∞,+∞)

题目

证明方程 dy/dx=(1+x^2+y^2) sin(x) 的每一个解的存在区间都是(-∞,+∞)

答案

这个结论不对,请检查题目来源.
首先,使用变量分离法易求得y' = (1+y²)/2的通解为y(x) = tan((x+C)/2).
因此满足初值条件y(π/2) = √3 = tan(π/3)的解为y(x) = tan((x+π/6)/2).
当x → 5π/6-时y(x) → +∞.
然而,在区间[π/6,5π/6]上,sin(x) ≥ 1/2,故(1+x²+y²)sin(x) ≥ (1+x²+y²)/2 ≥ (1+y²)/2.
根据比较定理,y' = (1+x²+y²)sin(x)满足初值条件y(π/2) = √3的解,
在[π/2,5π/6]上不小于tan((x+π/6)/2),因此在有界区间上趋于无穷,存在区间不能为(-∞,+∞).
猜测题目可能是y' = (1+x²+y²)sin(y).
此时方程有一族特解:常值函数y = kπ (k为整数).
由解的唯一性,方程的任意其它解都夹在某两个特解y = kπ与y = (k+1)π之间,
因此不能在有界区间上趋于无穷,故存在区间为(-∞,+∞).