如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为 _ ．

题目

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为 ___ ．

答案

∵∠DAB=60°∴三棱锥P-DCE各边长度均为1
∴三棱锥P-DCE为正三棱锥 P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O
∴OD=OE=OC=

3

3

在直角△POD中：OP²=PD²-OD²=

2

3

OP=

6

3

∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，
则O'P=O'D 设O'P=O'D=R
则在直角△OO'D中：OO'²+OD²=O'D²（OP-O'P）²+OD²=O'D²（

6

3

-R）²+（

3

3

）²=R²R=

6

4

∴体积为

4

3

πR³=

6 π

8

故答案为：

6 π

8

判定三棱锥的形状，确定外接球的球心位置，找出半径并求解，然后求出球的体积．

本题考点：球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评：本题考查三棱锥的外接球的体积，考查学生空间想象能力，是中档题．