已知椭圆C的一个焦点F与抛物线y²=12x的焦点重合,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离是8.

题目

已知椭圆C的一个焦点F与抛物线y²=12x的焦点重合,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离是8.
①求椭圆C的标准方程
②若点P（m,n）是椭圆C上的一动点,求直线l：mx+ny=1被圆O：x²+y²=1所截得的弦长的取值范围

答案

①c=3
椭圆上任意一点到焦点的距离即焦半径
根据第二定义有R/(a²/c-x)=c/a即R=a-cx/a
当x=-c时R有最大值a+c=8
C：x²/25+y²/16=1
②由椭圆的参数方程得
m=5cosθ n=4sinθ
m²+n²=16+9cos²θ∈[16,25]
弦心距d=1/√(m²+n²)
(L/2)²=r²-d²∈[3/4,4/5]
得L∈[√3,4√5/5]