√(n^2+an)-(bn+1)的极限等于b 则a的值是

题目

√(n^2+an)-(bn+1)的极限等于b 则a的值是

答案

已知：lim[√(n^2+a*n)-(b*n+1)]=b,求a.
因为
√(n^2+a*n)-(b*n+1)
=[√(n^2+a*n)^2-(b*n+1)^2]/[√(n^2+a*n)+(b*n+1)]（分子有理化）
=[(n^2+a*n)-(b*n+1)^2]/[√(n^2+a*n)+b*n+1]
=[(1-b^2)*n^2+(a-2b)*n-1]/[√(n^2+a*n)+b*n+1]
=[(1-b^2)*n+(a-2b)-1/n]/[√(1+a/n)+b+1/n]
当n→∞时,分母[√(1+a/n)+b+1/n]→1+b.
若(1-b^2)≠0,则分子发散（或者说极限不存在）,原分式的极限也不存在,矛盾,故(1-b^2)=0,即b=±1.
此时分子的极限为(a-2b).
若b=-1,则√(n^2+a*n)-(b*n+1)=√(n^2+a*n)+n-1,极限显然不存在,故b≠-1.故b=1.（不能直接由分母的极限为b+1根据分母不能为0判断b≠-1,因为分子的极限是a-2b,如果a=2b,则分子极限为0,当b=-1时,分式为0/0型,不能直接判断极限是否存在）
故有(a-2b)/(b+1)=b,b=1,解之,a=4.