椭圆的两个焦点F1,F2在x轴上,以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个焦点为(3,4),求椭圆标准方程

题目

椭圆的两个焦点F1,F2在x轴上,以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个焦点为(3,4),求椭圆标准方程

答案

以|F1F2|为直径的圆的圆心是原点
圆过(3,4)
所以圆的半径是√(3²+4²)=5
直径=|F1F2|=10
而|F1F2|=2c
所以c=5
所以a²=b²+c²=b²+25
所以x²/(b²+25)+y²/b²=1
椭圆也过(3,4)
所以9/(b²+25)+16/b²=1
9b²+16b²+400=b^4+25b²
b^4=400
b²=20
a²=45
x²/45+y²/20=1