求微分方程y″-3y′+2y=2xex的通解．

题目

求微分方程y″-3y′+2y=2xe^x的通解．

答案

对应齐次方程y″-3y′+2y=0的特征方程为
λ²-3λ+2=0，
解得特征根为λ₁=1，λ₂=2．
所以齐次微分方程y″-3y′+2y=0的通解为 y1=C₁e^x+C₂e^2x．
因为非齐次项为 f（x）=2xe^x，且 a=1 是特征方程的单重根，
故设原方程的一个特解为y^*=x（ax+b）e^x，
代入原方程得：
a=-1，b=-2，
故特解为y^*=x（-x-2）e^x．
所以原方程通解为
y=y₁+y*=C₁e^x+C₂e^2x+x（-x-2）e^x．