已知某数列的前n项和Sn=(3^n-2^n)/2^n,求证该数列是等比数列

题目

已知某数列的前n项和Sn=(3^n-2^n)/2^n,求证该数列是等比数列

答案

Sn=(3^n-2^n)/2^n=3ⁿ/2ⁿ-1=(3/2)ⁿ-1
当n=1时,a1=S1=3/2-1=1/2
当n≥2时,
an=Sn-S(n-1)
=[(3/2)ⁿ-1]-[(3/2)^(n-1)-1]
=(3/2)ⁿ-(3/2)^(n-1)
=3/2*(3/2)^(n-1)-(3/2)^(n-1)
=1/2*(2/3)^(n-1)
当n=1时上式成立
∴n∈N*时总有an=1/2*(3/2)^(n-1)
那么a(n+1)/an=[(1/2)*(3/2)^n]/[(1/2)*(3/2)^(n-1)]=3/2
∴{an}是等比数列