已知锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且∠BPC为直角,求证PD²=AD×DH

题目

已知锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且∠BPC为直角,求证PD²=AD×DH

答案

证明：因为AD⊥BC,∠BPC为直角
所以△BDP∽△PCD
所以BD:PD=PD:CD
即PD²=BDxCD
因为H为垂心
所以CH⊥AB
因为∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,∠2=∠3
 所以∠1=∠4
又因为∠ADB=∠CDH=90°
所以△ADB∽△CDH
所以BD:DH=AD:CD
即BDxCD=AD×DH
所以PD²=AD×DH