已知a,b属于（0,π/4),tana=1/2,且3sinb=sin(2a+b),求a+b的值

题目

已知a,b属于（0,π/4),tana=1/2,且3sinb=sin(2a+b),求a+b的值

答案

答：π/4.
因为
3sinb=3sin[(a+b)-a]=3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina
sin(2a+b)=sin[(a+b)+a]=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina
又3sinb=sin(2a+b),
即3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina
整理得2sin(a+b)cosa=4cos(a+b)sina
即有tan(a+b)=2tana=1,a,b属于（0,π/4),a+b∈(0,π/2),
所以a+b=π/4