在Rt三角形ABC中,角ABC=90度.以AB为直径的圆O交AC于点D,E是CB中点,直线ED于AB的延长线交于F.

题目

在Rt三角形ABC中,角ABC=90度.以AB为直径的圆O交AC于点D,E是CB中点,直线ED于AB的延长线交于F.
求证DF是圆O的切线（2）CE=15.DF=40.求圆O的半径

答案

（1）连接OD、OE,因O、E是中点,所以OE//AC,所以,角EOD=角ODA=角OAD=角BOE,又因为OB=OD,OE=OE,所以三角形OBE相似与三角形ODE,所以角ODE=角OBE=90°,即证得OD垂直DF,即DF是圆O的切线.
（2）由DE=BE=CE=15,所以EF=40-15=25,解直角三角形BEF得BF=20,再解直角三角形ODF,设半径为r,则有r²+40²=（20+r）²,解得r=30,.