如图,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点, 求证:△CMN是等边三角形.

如图,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点, 求证:△CMN是等边三角形.

题目
如图,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,
求证:△CMN是等边三角形.
答案
证明:∵△ABC是等边三角形,△CDE是等边三角形,M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,
∴∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE

∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,AM=BN;
∴AC=BC,∠CAD=∠CBE,AM=BN,
∴△AMC≌△BNC(SAS),
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN;
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM,
∠ACB=∠ACM-∠BCM,
∴∠NCM=∠ACB=60°,
∴△CMN是等边三角形.
根据△ACD≌△BCE,得出AD=BE,AM=BN;又△AMC≌△BNC,可得CM=CN,∠ACM=∠BCN,证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三角形;

等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,难度一般,熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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