Sn=0·1/n+(1/n)^2·1/n+...+(i/n)^2+...+(n-1/n)^2·1/n怎么算出等于(n-1)n(2n-1)/6n^3

题目

Sn=0·1/n+(1/n)^2·1/n+...+(i/n)^2+...+(n-1/n)^2·1/n怎么算出等于(n-1)n(2n-1)/6n^3
=1/n^3[1^2+2^2+...i^2+...+(n-1)^2]
=(n-1)·n·(2n-1)/6n^3
=1/3-(1/2n-1/6n^2)
这里面的第二步.

答案

1^2+2^2+...i^2+...+(n-1)^2=(n-1)n(2n-1)/6具体证明我忘了,但是归纳法推理肯定推得出来证1+4+9+n^2=n当n=1时,等式成立,当n=k时S(k-1)=(k-1)k(2k-1)/6S(k)=S(k-1)+k^2=(2k^3-3k^2+k)/6+k^2=(2k^3+3k^2+k)/6=k(k+1)(2...