一圆周上给定7个点,两两用线段相连,所得图形中三角形的个数至少有多少个?

题目

一圆周上给定7个点,两两用线段相连,所得图形中三角形的个数至少有多少个?
分情形讨论得：
7C3+4*7C4+7C5+7C6-3=220个
看你不懂啊?
也就是一百。

答案

三角形3个顶点都是圆周上的点的三角形个数C(7,3)
取7个点中任意四个点A,B,C,D 取法有C(7,4)
组成一个四边形
两条对角线的交点记为0
三角形三顶点中2个在圆周上 1个是连线交点
有ΔAB0 ΔACO ΔAD0 ΔBD0
任意一个四边形对角线交点不重叠
此种情况下4*7C4个
取7个点中任意五个点 取法有C(7,5)
组成一个五边形
对角线有5交点
三角形三顶点中1个在圆周上 2个是连线交点
有5个
此种情况下5*7C5个(可能重复)
由于五边形中的任意一个四边形都仅有1个对角线交点
若改变其中任意1个顶点
三角形一定改变
此种情况下5*7C5个(无重复)
取7个点中任意六个点 取法有C(7,6)
组成一个六边形
三角形三顶点中3个都是连线交点仅有1个
此种情况下7C6个
7C3+4*7C4+5*7C5+7C6=287