数论题,求解.
题目
数论题,求解.
设f(x)为一多项式,a,b,c,d为整数.已知f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7, 求证:不存在整数e使得f(e)=14..
答案
题中,a,b,c,d应该是不同的整数.
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7
==》存在一多项式g(x), 使得 f(x)=g(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+7
反证:
如果存在 f(e)=14, 则: g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)+7=14
g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)=7
左边的5个因子都是整数,且 (e-a),(e-b),(e-c),(e-d) 都各不相同. 这显然不可能,因为其中最多只可能有一个 因子 是7 (或-7),剩下只有 1, -1 两个不同因子,不可能有四个不同因子.矛盾!
所以结论成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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