在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2．（1）求证：平面GEF⊥平面PBC；（2）求证：EG是PG与BC的公垂线

题目

在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2．
（1）求证：平面GEF⊥平面PBC；
（2）求证：EG是PG与BC的公垂线段．

答案

证明：（1）在△PAB中，连接BG延长线交AP与点M
∵G是△PAB的重心，
∴MG=

1

3

MB，
∵PF：FB=1：2，即PF=

1

3

PB，
∴GF∥PM
又PA、PB、PC两两垂直，
∴PA⊥平面PBC，又∵GF∥PA
∴GF⊥平面PBC
又∵GF⊂平面GEF
∴平面GEF⊥平面PBC；
（2）取EC的中点Q，连接FQ，
∵BE：EC=PF：FB=1：2
∴BQ：QC=2：1
∴FQ∥PC
∴FB=FQ
∴EF⊥BC
又∵GF⊥平面PBC
∴GF⊥BC
由GF∩EF=F
∴BC⊥平面GEF
∴EG⊥BC
取FB的中点N，则PG：GD=PN：NB=2：1
即GN∥BD
在等腰三角形PAB中，BD⊥PD
∴PG⊥GN
又∵PN：NB=CE：EB=2：1
∴NE∥PC
由又PA、PB、PC两两垂直，
∴PC⊥平面PAB，
又∵PG⊂平面PAB
∴PC⊥PG
∴NE⊥PG
又NE∩GN=N
∴PG⊥平面GNE
∴PG⊥EG
即EG是PG与BC的公垂线段