在三棱锥P-ABC中,已知PA垂直于BC,PB垂直于AC.求PC垂直于AB.

题目

在三棱锥P-ABC中,已知PA垂直于BC,PB垂直于AC.求PC垂直于AB.

答案

在三棱锥P-ABC中,已知PA垂直于BC,PB垂直于AC.求PC垂直于AB.
作PH⊥平面ABC,连结AH,BH,CH,则它们分别是斜线PA、PB和PC在平面ABC的射影,
根据三垂线逆定理,直线垂直斜线必然垂直其射影可知,
∵PA⊥BC,
∴AH⊥BC,
∵PB⊥AC,
∴BH⊥AC,
∴H是△ABC的垂心,三角形三条高交于一点,
∴CH⊥AB,
根据三垂线定理,
∴PC⊥AB.