设n是正整数,x是实数,证明：[(n+2^(r-1))/2^r]求和等于n,其中,r从1开始取值,直到正无穷

题目

设n是正整数,x是实数,证明：[(n+2^(r-1))/2^r]求和等于n,其中,r从1开始取值,直到正无穷
[x]表示不超过x的最大整数；[(n+2^(r-1))/2^r]表示不超过(n+2^(r-1))/2^r的最大整数
∑[n/2^r+1/2)]=[n/2+1/2)]+[n/2^2+1/2)]+[n/2^3+1/2)]+...
而不是[(n/2+1/2)+(n/2^2+1/2)+(n/2^3+1/2)+...]

答案

原式= n+2^(r-1) ∑--------- 2^r n 2^(r-1) =∑(----- + ------) 2^r 2^r n =∑(----- + 1/2) 2^r 所以[(n+2^(r-1))/2^r] 1 =n∑-----,从r=1 加到无穷大 2^r 相当于等比数列当项数无穷大时的求和公式1/2 =n* ------...