在区间[1/2,2],f(x)=x^2+bx+c 与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同最小值,f(x)在[1/2,2]内的最大值?

题目

在区间[1/2,2],f(x)=x^2+bx+c 与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同最小值,f(x)在[1/2,2]内的最大值?

答案

函数g(x)=(x^2+x+1)/x,可变形为
g(x)=x+1/x+1
由基本不等式：a+b≥2√(ab) （当且仅当a=b时取得最小值.）
所以
g(x)min=x+1/x+1≥2√(x*1/x) +1 =3
当 x=1/x时 即x = 1时 g(x)min = g(1) = 3
即说明(1,3)为函数f(x)=x^2+bx+c的顶点.
所以
函数f(x)=x^2+bx+c的解析式为
f(x) = (x-1)^2 + 3
那么f(x)在[1/2,2]内的最大值为
f(x)max = f(2) = (2-1)^2 +3 = 4