an=(2^n)*n,求和Sn

题目

an=(2^n)*n,求和Sn

答案

Sn=a1+a2+a3+ …+an
=2+2×2^2+3×2^3+ …+n×2^n
2Sn=2^2+2×2^3+3×2^46+ …+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
上面两式相减得
Sn-2Sn=2+2^2+2^3+ …+2^n-n×2^(n+1)
-Sn=2×(1-2^n)/(1-2)-n×2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1)-2
所以Sn=(n-1)×2^(n+1)+2