内接与半径为R的半圆的矩形,长宽分别为多少时周长最大.

题目

内接与半径为R的半圆的矩形,长宽分别为多少时周长最大.

答案

如上图所示,
设：长为y,宽为x,周长为z
有：z=2(x+y)………………………………(1)
又：x^2+(y/2)^2=r^2,
即：y=2√(r^2-x^2)
代入(1),有：z=2(x+2√(r^2-x^2))
即：z=2x+4√(r^2-x^2)
z'=2-4x/√(r^2-x^2)
1、令：z'＞0,即：2-4x/√(r^2-x^2)＞0
2x/√(r^2-x^2)＜1
2x＜√(r^2-x^2)
4x^2＜r^2-x^2
解得：x＜(√5)r/5
当x∈(0,(√5)r/5)时,z是单调增函数；
2、同理,令：z'＜0,即：2-4x/√(r^2-x^2)＜0
解得：x∈((√5)r/5,r)时,z是单调减函数.
因此,x=(√5)r/5时,z取得最大值,
此时：y=2√{r^2-[(√5)r/5]^2}
解得：y=4(√5)r/5
答：长为4(√5)r/5、宽为(√5)r/5时,周长最大.