长方体ABCD-A1B1C1D1中,角BAB1=角B1AC1=60°.求(1)AB与A1C1所成角的正弦值(2)AA1

题目

长方体ABCD-A1B1C1D1中,角BAB1=角B1AC1=60°.求(1)AB与A1C1所成角的正弦值(2)AA1

答案

长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAB1＝∠B1AC1＝60°.求：
如图
设AB=A1B1=a
已知∠BAB1=60°,所以∠AA1B=∠B1AA1=30°
那么,在Rt△B1AA1中有：AB1=2a,AA1=√3a
同理,在Rt△AB1C1中,AB1=2a,∠B1AC160°
所以,B1C1=2√3a,AC1=4a
那么,在Rt△A1B1C1中由勾股定理得到：A1C1^2=A1B1^2+B1C1^2
=a^2+(2√3a)^2=a^2+12a^2=13a^2
所以,A1C1=√13a
在Rt△B1CC1中由勾股定理得到：B1C^2=B1C1^2+CC1^2
=(2√3a)^2+(√3a)^2=12a^2+3a^2=15a^2
所以,B1C=√15a
⑴AB与A1C1所成的角的正弦值；
连接A1C1,因为AB//A1B1
所以,A1B1与A1C1所称的角∠B1A1C1就是AB与A1C1所成的角
那么,在Rt△A1B1C1中：
sin∠B1A1C1=B1C1/A1C1=(2√3a)/(√13a)=(2√39)/13
⑵AA1与B1C所成的角的正弦值.
连接B1C,因为AA1//CC1
所以,CC1与B1C所成的角∠B1CC1就是AA1与B1C所成的角
那么,在Rt△B1CC1中：
sin∠B1CC1=B1C1/B1C=(2√3a)/(√15a)=(2√5)/5