已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn=1/2n2+11/2n;数列{bn}满足:b3=11,bn+2=2bn+1-bn,其前9项和为153. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设Tn
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已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn=1/2n2+11/2n;数列{bn}满足:b3=11,bn+2=2bn+1-bn,其前9项和为153. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设Tn
题目
已知S
n
为数列{a
n
}的前n项和,S
n
=
1
2
n
答案
(I)∵数列{a
n
}的前n项和,S
n
=
1
2
n
2
+
11
2
n.
∴当n=1时,a
1
=S
1
=
1
2
+
11
2
=6;
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=
1
2
n
2
+
11
2
n
-
[
1
2
(n−1
)
2
+
11
2
(n−1)]
=n+5.
当n=1时,上式成立,
∴a
n
=n+5.
∵b
3
=11,b
n+2
=2b
n+1
-b
n
,
∴数列{b
n
}是等差数列,设公差为d.
∵前9项和为153,
∴153=9b
1
+
9×8
2
d
,b
3
=b
1
+2d=11.解得b
1
=5,d=3.
∴b
n
=5+3(n-1)=3n+2.
(II)c
n
=
6
(2
a
n
−11)(2
b
n
−1)
=
6
(2n+10−11)(6n+4−1)
=
1
2n−1
−
1
2n+1
,
∴T
n
=
(1−
1
3
)+(
1
3
−
1
5
)
+…+
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
=
1−
1
2n+1
=
2n
2n+1
.
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