解这道题,要求过程发详细

题目

解这道题,要求过程发详细
f(x)=ax^3-3/2x^2+1,x∈R,a>0
1、若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程
2、若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)>0恒成立,求a取值
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答案

1、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
f(x)=x^3-(3/2)x^2+1
f(2)=8-6+1=3
f'(x)=3x^2-3x
f'(2)=12-6=6
因此f(x)在（2,3）处的切线的斜率为6
因此f(x)在（2,3）处的切线方程为
y-3=6（x-2)
即y=6x-9
2、%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
f'(x)=3ax^2-3x=3x(ax-1)
令f'(x)=3x(ax-1)=0
解得
x=0或者x=1/a
当-1/2-1/2<1/a<1/2
解得a>2或者a<-2
又a>0,解得
a>2
当0f'(x)=0只有x=0一个解
则f(x)在x=0处有极值
要使f(x)>0恒成立,则：
f(-1/2)=(-1/8)a-3/8+1=(5-a)/8>0
f(1/2)=(1/8)-3/8+1=(5+a)/8>0
f(0)=1>0
0得
0当a>2时
f'(x)在x=0和x=a的时候有极值
要使f(x)>0恒成立,则：
f(-1/2)=(-1/8)a-3/8+1=(5-a)/8>0
f(1/2)=(1/8)-3/8+1=(5+a)/8>0
f(0)=1>0
f(1/a)=1/(a^2)-3/(2a^2)+1=（2a^2-1)/(2a^2)>0
a>2
得2综上所述a的取值范围为（0,5）